Giải Phương Trình Bậc 2 Một Ẩn Lớp 9

Phương trình bậc 2 một ẩn là một nội dung quan trọng trong chương trình toán học lớp 9. Việc giải phương trình bậc hai không chỉ giúp học sinh rèn luyện tư duy logic mà còn là nền tảng cho những kiến thức toán học nâng cao sau này. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết về phương trình bậc hai một ẩn, từ khái niệm, cách giải.

1. Định nghĩa

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: $ax^2 + bx + c = 0,$

trong đó:

• \(a, b, c\) là các hằng số (số đã cho),
• \(x\) là ẩn số (biến cần tìm),
• \(a \neq 0\) (điều kiện để phương trình có bậc hai, nếu \(a = 0\), phương trình trở thành phương trình bậc nhất).

2. Các dạng phương trình bậc 2 đặc biệt

2.1. Phương trình bậc hai thuần

Phương trình có dạng: $ax^2 + c = 0 \quad (b = 0).$

Cách giải:

• Chuyển \(c\) sang vế phải:$ ax^2 = -c.$
• Chia hai vế cho \(a\) (với \(a \neq 0\)):$ x^2 = -\frac{c}{a}.$
• Nếu \(-\frac{c}{a} \geq 0\), ta có nghiệm:$ x = \pm \sqrt{-\frac{c}{a}}.$
• Nếu \(-\frac{c}{a} < 0\), phương trình vô nghiệm.

2.2. Phương trình bậc hai không có hằng số

Phương trình có dạng:$ax^2 + bx = 0 \quad (c = 0).$

Cách giải:

• Đặt \(x\) làm nhân tử chung:$ x(ax + b) = 0.$
• Phương trình có hai nghiệm:$ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{b}{a}.$

2.3. Phương trình bậc hai đầy đủ

Phương trình có dạng tổng quát:$ax^2 + bx + c = 0.$

Đây là dạng phương trình bậc hai phổ biến nhất, cách giải chi tiết sẽ được trình bày ở phần tiếp theo.

3. Công thức nghiệm

3.1. Công thức tính biệt thức (\(\Delta\))

Để giải phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\), ta cần tính biệt thức (\(\Delta\)):$\Delta = b^2 – 4ac.$

Dựa vào giá trị của \(\Delta\), ta có thể xác định số nghiệm của phương trình:

• Nếu \(\Delta > 0\): Phương trình có hai nghiệm phân biệt:$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}.$
• Nếu \(\Delta = 0\): Phương trình có nghiệm kép:$ x = \frac{-b}{2a}.$
• Nếu \(\Delta < 0\): Phương trình vô nghiệm (không có nghiệm thực).

3.2. Công thức nghiệm đầy đủ

Phương trình bậc hai đầy đủ có nghiệm được tính bằng công thức:$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}.$

Trong đó:

• \(x_1\) là nghiệm lớn hơn (khi sử dụng dấu “+”),
• \(x_2\) là nghiệm nhỏ hơn (khi sử dụng dấu “−”).

4. Định lý Vi-ét

Định lý Vi-ét là một công cụ quan trọng trong việc giải phương trình bậc hai và lập phương trình bậc hai từ nghiệm. Giả sử phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\) có hai nghiệm \(x_1\) và \(x_2\), thì:

• Tổng hai nghiệm: $ x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}.$
• Tích hai nghiệm: $ x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}.$

Nhờ định lý Vi-ét, ta có thể:

• Bước 1. Kiểm tra nghiệm của phương trình.
• Bước 2. Lập phương trình bậc hai khi biết tổng và tích của hai nghiệm:$ x^2 – (x_1 + x_2)x + (x_1 \cdot x_2) = 0.$

5. Các bước giải phương trình bậc hai tổng quát

Bước 1: Xác định hệ số \(a, b, c\)

Từ phương trình \(ax^2 + bx + c = 0\), xác định các hệ số \(a, b, c\).

Bước 2: Tính biệt thức \(\Delta\)

Tính \(\Delta = b^2 – 4ac\) để xác định số nghiệm.

Bước 3: Áp dụng công thức nghiệm

Dựa vào giá trị của \(\Delta\):

• \(\Delta > 0\): Tính \(x_1\) và \(x_2\) theo công thức:$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a}.$
•  \(\Delta = 0\): Tính nghiệm kép:$ x = \frac{-b}{2a}.$
• \(\Delta < 0\): Kết luận phương trình vô nghiệm.

Bước 4: Kiểm tra nghiệm

Thay các nghiệm vào phương trình ban đầu (nếu cần) để kiểm tra tính đúng đắn.

* Tóm tắt:

Bước 1: Nhận dạng phương trình bậc hai: Xác định a,b,c từ phương trình đã cho.

Bước 2: Tính biệt thức Δ: Dựa vào giá trị của Δ, quyết định số nghiệm.

Bước 3: Áp dụng công thức nghiệm: Sử dụng công thức giải tổng quát hoặc công thức nghiệm thu gọn để tìm nghiệm.

Bước 4: Kiểm tra nghiệm (nếu cần): Thay các giá trị nghiệm vào phương trình ban đầu để kiểm tra tính đúng đắn.

6. Một số lưu ý khi giải phương trình bậc hai

Phân biệt phương trình bậc hai và phương trình bậc nhất: Nếu \(a = 0\), phương trình trở thành bậc nhất.

Kiểm tra kỹ hệ số: Sai sót trong việc xác định \(a, b, c\) dễ dẫn đến tính sai nghiệm.

Tính chính xác \(\Delta\): Tính sai biệt thức \(\Delta\) sẽ dẫn đến sai nghiệm hoặc kết luận sai về số nghiệm.

Suy luận thực tế: Khi giải bài toán thực tế, cần kiểm tra xem nghiệm có phù hợp với điều kiện bài toán hay không.

7. Bài tập minh họa

Bài tập 1. Giải phương trình bậc hai sau: x² – 11x + 38 = 0

Lời giải

Vì Δ < 0 nên phương trình vô nghiệm.

Bài tập 2. Giải phương trình bậc 2 sau: x² + 5x – 3 = 0

Lời Giải

Bài tập 3. Giải phương trinh sau: x⁴ – 10x³ + 25x² – 36 = 0 (*)

Lời giải

Giải phương trình (1) ta được 2 nghiệm: x = 3 và x = 4

Giải phương trình (2) ta được 2 nghiệm trái dấu: x = -1  và x = 6

Kết luận: Phương trình (*) có 4 nghiệm là x = 3; x = 4; x = -1  và x = 6

Bài tập 4. Giải PT bậc 2 sau x⁴ + 17x² + 18 = 0 (1)

Lời giải

Đặt t = x² với t > 0(*)

Phương trình đã cho trở thành: t² + 17t + 18 = 0 (2)

$\Delta = {b^2} – 4.a.c = {17^2} – 4.1.18 = 217$

Phương trình có 2 nghiêm:

• ${t_1} = \frac{{ – 17 + \sqrt {217} }}{2} = – 1,1345$ < 0 (loại)
• ${t_2} = \frac{{ – 17 – \sqrt {217} }}{2} = – 15,8655$ < 0 (loại)

Như vậy cả 2 nghiệm của phương trình (2) đều là âm nên không thỏa mãn điều kiện (*) nên phương trình (1) vô nghiệm.

Bài tập 5. Giải PT: ${x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + x + \frac{1}{x} = \frac{{27}}{4}$

Lời giải

Nư vậy, phương trình có 4 nghiệm là: $x = 2;\,$ $x = \frac{1}{2};$ $x = \frac{{ – 7 + \sqrt {33} }}{4};\,$ $x = \frac{{ – 7 – \sqrt {33} }}{4}$

Bài tập 6. Giải phương trình bậc sau ${x^2} + \frac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = 7$

Lời giải

Điều kiện x ≠ – 3

${x^2} + \frac{{9{x^2}}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}} = 7$

$ \Leftrightarrow {\left( {x – \frac{{3x}}{{x + 3}}} \right)^2} + 2.3.\frac{{{x^2}}}{{x + 3}} = $

Vậy phương trình có 2 nghiệm là $x = \frac{{1 + \sqrt {13} }}{2};\,$ $x = \frac{{1 – \sqrt {13} }}{2}$

Bài tập 7. Giải phương trình bậc hai đầy đủ

Giải phương trình:$2x^2 – 3x + 1 = 0.$

– Xác định hệ số: \(a = 2\), \(b = -3\), \(c = 1\).

– Tính \(\Delta\):$ \Delta = (-3)^2 – 4 \cdot 2 \cdot 1 = 9 – 8 = 1.$

– Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:$ x_1 = \frac{-(-3) + \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 + 1}{4} = 1.$

$ x_2 = \frac{-(-3) – \sqrt{1}}{2 \cdot 2} = \frac{3 – 1}{4} = \frac{1}{2}.$

– Kết quả:$ x_1 = 1, \quad x_2 = \frac{1}{2}.$

9. Kết luận

Phương trình bậc hai một ẩn là một trong những nội dung quan trọng và cơ bản của toán học trung học cơ sở. Việc nắm vững cách giải phương trình bậc hai không chỉ giúp học sinh giải quyết tốt các bài toán cơ bản mà còn xây dựng nền tảng tư duy để học các kiến thức nâng cao hơn. Đồng thời, phương trình bậc hai còn có nhiều ứng dụng thực tiễn trong các lĩnh vực khác nhau, từ khoa học, kỹ thuật đến đời sống hàng ngày. Hãy luyện tập nhiều bài toán để thành thạo các phương pháp giải và vận dụng hiệu quả vào thực tế!