Loading web-font TeX/Math/Italic

Giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn

Cách giải: Sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai để giải.

Bài 1: Xác định hệ số a,b,c; Tính biệt thức \Delta (hoặc \Delta ‘ nếu b=2b’) rồi tìm nghiệm của các phương trình sau

a) 2{{x}^{2}}-3x-5=0 b) {{x}^{2}}-6x+8=0

c) 9{{x}^{2}}-12x+4=0 d) -3{{x}^{2}}+4x-4=0

Lời giải

a) Ta có: a=2;b=-3;c=-5\Delta =49>0\Rightarrow phương trình có hai nghiệm phân biệt: {{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}\Rightarrow x\in \left\{ -1;\frac{5}{2} \right\}

b) Ta có: a=1;b=-6;b’=-3;c=8;\Delta ‘=1>0\Rightarrow x\in \left\{ 2;4 \right\}

c) Ta có: a=9;b=-12;c=4;\Delta =0\Rightarrow phương trình có nghiệm kép: {{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{2}{3}

d) Ta có: a=-3;b=4;c=-4;\Delta =-32<0\Rightarrow phương trình vô nghiệm.

Bài 2: Xác định hệ số a,b,c; Tính biệt thức \Delta (hoặc \Delta ‘ nếu b=2b’) rồi tìm nghiệm của các phương trình sau

a) {{x}^{2}}-x-11=0

b) {{x}^{2}}-4x+4=0

c) -5{{x}^{2}}-4x+1=0

d) -2{{x}^{2}}+x-3=0

Lời giải

a) Ta có: a=1;b=-1;c=-11;\Delta =45>0\Rightarrow x\in \left\{ \frac{1\pm 3\sqrt{5}}{2} \right\}

b) Ta có: a=1;b=-4;c=4;\Delta =0\Rightarrow x=2

c) Ta có: a=-5;b=-4;c=1;\Delta =36>0\Rightarrow x\in \left\{ -1;\frac{1}{5} \right\}

d) Ta có: a=-2;b=1;c=-3;\Delta =-23<0\Rightarrow phương trình vô nghiệm.

Bài 3: Giải các phương trình sau

a) {{x}^{2}}+\sqrt{5}x-1=0

b) 2{{x}^{2}}-2\sqrt{2}x+1=0

c) \sqrt{3}{{x}^{2}}-\left( 1-\sqrt{3} \right)x-1=0

d) -3{{x}^{2}}+4\sqrt{6}x+4=0

Lời giải

a) Ta có: a=1;b=\sqrt{5};c=-1;\Delta =9>0\Rightarrow \sqrt{\Delta }=3\Rightarrow x\in \left\{ \frac{-5\pm \sqrt{3}}{2} \right\}

b) Ta có: a=2;b=-2\sqrt{2};c=1;\Delta =0\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{2}

c) Ta có: a=\sqrt{3};b=-\left( 1-\sqrt{3} \right);c=-1;\Delta =4+6\sqrt{3}>0\Rightarrow x\in \left\{ -1;\frac{\sqrt{3}}{3} \right\}

d) Ta có: a=-3;b=4\sqrt{6};c=4;\Delta =144>0\Rightarrow x\in \left\{ \frac{6+2\sqrt{6}}{3};\frac{-6+2\sqrt{6}}{3} \right\}

Bài 4: Giải các phương trình sau

a) 2{{x}^{2}}+2\sqrt{11}x-7=0

b) 152{{x}^{2}}-5x+1=0

c) {{x}^{2}}-\left( 2+\sqrt{3} \right)x+2\sqrt{3}=0

d) 3{{x}^{2}}-2\sqrt{3}x+1=0

Lời giải

a) Ta có: a=2;b=2\sqrt{11};c=-7;\Delta =100>0\Rightarrow x\in \left\{ \frac{-\sqrt{11}\pm 5}{2} \right\}

b) Ta có: a=152;b=-5;c=1;\Delta =-583<0\Rightarrow x\in \varnothing

c) Ta tính được: x\in \left\{ 2;\sqrt{3} \right\}

d) Ta tính được: x=\frac{\sqrt{3}}{3}

Bài 5: Giải các phương trình sau

a) {{x}^{2}}+2\sqrt{5}x+4=0

b) \sqrt{2}{{x}^{2}}-3x+5=0

Lời giải

a) Ta có \Delta ‘={{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}-4=1\Rightarrow \sqrt{\Delta ‘}=1

Vậy phương trình có hai nghiệm {{x}_{1}}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}{{x}_{2}}=\frac{-\sqrt{5}+1}{2}

b) Ta có \Delta ={{3}^{2}}-4.5.\sqrt{2}=9-20\sqrt{2}<0

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Bài 6: Cho phương trình 3{{x}^{2}}-\left( 5-m \right)x+2-m=0 với m\in \mathbb{R} là tham số

a) Xác định các hệ số a,b,c của phương trình

b) Giải phương trình trong các trường hợp m=2;m=5;m=1

Lời giải

a) Ta có a=3,\,b=-\left( 5-m \right),\,c=2-m

b) Với m=5 ta có phương trình 3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1

Với m=2 ta có phương trình 3{x^2} – 3x = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.

Với m=1 ta có phương trình 3{x^2} – 4x = 1 = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} – 3x – x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left( {3x – 1} \right)\left( {x – 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{1}{3}\\ x = 1 \end{array} \right.

*) Nhận xét: Trong cả 3 trường hợp phương trình đều có nghiệm x=1

Ta có thể biến đổi phương trình ban đầu tương đương với \left( x-1 \right)\left( 3x-2+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=\frac{2-m}{3} \\ \end{align} \right..

Giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn
Chuyển lên trên