1. Cách biện luận phương trình dạng bậc hai
Cách giải: Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai theo tham số m là tìm tập nghiệm của phương trình tùy theo sự thay đổi của m.
*) Xét phương trình bậc hai dạng: $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ với $\Delta ={{b}^{2}}-4ac$ (hoặc $\Delta ‘=b{{‘}^{2}}-ac$).
- Nếu $a=0$, ta đưa về biện luận phương trình bậc nhất
- Nếu $a\ne 0$, ta biện luận phương trình bậc hai theo $\Delta $.
2. Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Giải và biện luận phương trình $(m-2){{x}^{2}}-(2m-1)x+m+2=0$
Lời giải
+) $m=2\leftrightarrow x=\frac{4}{3}$
+) $m\ne 2,\Delta =-4m+17$
- $m>\frac{17}{4}\to \Delta <0\to (1).vo.nghiem$
- $m=\frac{17}{4}\to \Delta =0\to (1).o.nghiem.kep:{{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{2m-1}{2(m-2)}=\frac{5}{3}$
- $m<\frac{17}{4}\to \Delta >0\to (1).co.hai,nghiem.phan.biet:{{x}_{1,2}}=\frac{2m-1\pm \sqrt{-4m+17}}{2(m-2)}$
Vậy m = 2 phương trinhf có nghiệm $x=\frac{4}{3}$
$m>\frac{17}{4}\to phuong.trinh.vo.nghiem$
$m=\frac{17}{4}\Rightarrow $ phương trình có nghiệm kép $x=\frac{5}{3}$
$\left\{ \begin{array}{l} m \ne 2\\ m < \frac{{17}}{4} \end{array} \right. \Rightarrow $ phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Bài tập 2: Cho phương trình $mx{}^{2}-2mx+m+1$ (m là tham số)
a. Giải phương trình khi m = – 2
b. Giải và biện luận phương trình them m
Lời giải
a. $m=-2\Rightarrow x=\frac{2\pm \sqrt{2}}{2}$
b. Ta xét hai trường hợp sau:
– TH1: $m=0\Rightarrow 1=0(vo.nghiem)$
– TH2: $m\ne 0\Rightarrow \Delta ‘=-m\ne 0$
- $m<0\Rightarrow \Delta ‘>0\Rightarrow {{x}_{1,2}}=\frac{m\pm \sqrt{-m}}{m}$
- $m>0\Rightarrow \Delta ‘<0\Rightarrow vo.nghiem$
Kết luận:
- $m\ge 0\Rightarrow $phương trình vô nghiệm
- $m<0\Rightarrow {{x}_{1,2}}=\frac{m\pm \sqrt{-m}}{m}$
Bài tập 3: Giải và biện luận các phương trình sau (m là tham số)
a) ${{x}^{2}}+\left( 1-m \right)x-m=0$
b) $\left( m-3 \right){{x}^{2}}-2mx+m-6=0$
Lời giải
a) Ta có: $\Delta ={{m}^{2}}+2m+1={{\left( m+1 \right)}^{2}}\ge 0,\forall m\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\left| m+1 \right|$
- $\Delta =0\Leftrightarrow m=-1:$ Phương trình đã cho có nghiệm kép: ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{m-1}{2}$
- $\Delta >0\Leftrightarrow m\ne -1:$ Phương trình đã cho có hai nghiệm pahan biệt: ${{x}_{1}}=m;{{x}_{2}}=-1$
b) Với $m=3\Rightarrow $ Phương trình có dạng: $-6x-3=0\Leftrightarrow x=\frac{-1}{2}$
Với $m\ne 3\Rightarrow \Delta ‘=9m-18$
- $\Delta ‘<0\Leftrightarrow 9m-18<0\Leftrightarrow m<2:$ Phương trình vô nghiệm
- $\Delta ‘=0\Leftrightarrow 9m-18=0\Leftrightarrow m=2:$ Phương trình có nghiệm kép: ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{m}{m-3}$
- $\Delta ‘>0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\ne 3 \\ & m>2 \\ \end{align} \right.:$ Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${{x}_{1,2}}=\frac{m\pm \sqrt{9m-18}}{m-3}$
Bài tập 4: Giải và biện luận các phương trình sau (m là tham số)
a) $m{{x}^{2}}+\left( 2m-1 \right)x+m+2=0$
b) $\left( m-2 \right){{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+m=0$
Lời giải
a) Với $m=0\Rightarrow x=2$
Với $m\ne 0\Rightarrow \Delta =-12m+1$
- $\Delta <0\Leftrightarrow m>\frac{1}{12}:$ Phương trình vô nghiệm
- $\Delta =0\Leftrightarrow m=\frac{1}{12}:$ Phương trình có nghiệm kép: ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{1-2m}{2m}$
- $\Delta >0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\ne 0 \\ & m<\frac{1}{12} \\ \end{align} \right.:$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${{x}_{1,2}}=\frac{1-2m\pm \sqrt{1-12m}}{2m}$
b) Với $m=2\Leftrightarrow x=\frac{1}{3}$
Với $m\ne 2\Rightarrow \Delta ‘=4m+1$
- $\Delta ‘<0\Leftrightarrow m<\frac{-1}{4}$ Phương trình vô nghiệm
- $\Delta ‘=0\Leftrightarrow m=\frac{1}{4}:$ Phương trình có nghiệm kép: ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{m+1}{m-2}$
- $\Delta ‘>0\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & m\ne 0 \\ & m>\frac{-1}{4} \\ \end{align} \right.:$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${{x}_{1,2}}=\frac{m+1\pm \sqrt{4m+1}}{m-2}$