I. Cách tính nghiệm của phương trình bậc hai
1. Phương trình bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0\left( a\ne 0 \right)$ có nghiệm $\Leftrightarrow \Delta \ge 0$ (hoặc $\Delta ‘\ge 0$).
2. Muốn tìm điều kiện của tham số để hai phương trình dạng bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ và $a'{{x}^{2}}+b’x+c’=0$ có nghiệm chung ta làm như sau:
- Bước 1: Gọi ${{x}_{0}}$ là nghiệm chung của hai phương trình. Thay ${{x}_{0}}$ vào 2 phương trình để tìm được điều kiện của tham số.
- Bước 2: Với giá trị của tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem 2 phương trình có nghiệm chung hay không và kết luận.
3. Muốn tìm điều kiện của tham số để hai phương trình dạng bậc hai $a{{x}^{2}}+bx+c=0$ và $a'{{x}^{2}}+b’x+c’=0$ tương đương, ta xét hai trường hợp:
– Trường hợp 1: Hai phương trình cùng vô nghiệm
– Trường hợp 2: Hai phương trình cùng có nghiệm. Khi đó:
- Điều kiện cần để hai phương trình tương đương là chúng có nghiệm chung. Từ đó tìm được điều kiện của tham số
- Điều kiện đủ với giá trị của tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem 2 phương trình tập nghiệm bằng nhau không và kết luận.
II. Bài tập vận dụng
Bài tập 1. Cho hai phương trình: ${{x}^{2}}+x+a=0;x{}^{2}+ax+1=0$
a. Tìm a để hai phương trình có nghiệm chung
b. Tìm a để hai phương trình tương đương
Lời giải
a. Giả sử ${{x}_{0}}$ là nghiệm chung của hai phương trình $\to $ ta có hệ:
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x_0^2 + {x_0} + a = 0(1)\\ x_0^2 + a{x_0} + 1 = 0(2) \end{array} \right.\\ \to (1) – (2) = (1 – a)({x_0} – 1) = 0\\ \leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 1\\ {x_0} = 1 \end{array} \right.. \end{array}$
- Với $a=1\to x{}^{2}+x+1=0(vn)$
- ${{x}_{0}}=1\to (1):a=-2\to \left\{ \begin{align} & {{x}^{2}}+x-2=0 \\ & {{x}^{2}}-2x+1=0 \\ \end{align} \right.\leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \left[ \begin{align} & {{x}_{1}}=1 \\ & {{x}_{2}}=-2 \\ \end{align} \right. \\ & x=1 \\ \end{align} \right.$
Vậy với a = -2 thì hai phương trình có nghiệm chung x = 1.
b. Theo câu a hai phương trình có tập nghiệm khác nhau. Vậy để chúng tương đương khi và chỉ khi chúng cùng vô nghiệm
$ \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {\Delta _1} = 1 – 4a < 0\\ {\Delta _2} = {a^2} – 4 < 0 \end{array} \right. \leftrightarrow \frac{1}{4} < a < 2.$
Bài tập 2. Giả sử hai phương trình: $x{}^{2}+ax+b=0;{{x}^{2}}+mx+n=0$ có nghiệm chung. Chứng minh rằng: ${{(n-b)}^{2}}=(m-a)(an-bm)(1)$
Lời giải
Giả sử ${{x}_{0}}$ là nghiệm chung của hai phương trình $\to $ ta có hệ: $\left\{ \begin{align} & x_{0}^{2}+a{{x}_{0}}+b=0 \\ & x_{0}^{2}+m{{x}_{0}}+n=0 \\ \end{align} \right.\to (a-m){{x}_{0}}=n-b(*)$
- $a-m=0\leftrightarrow a=m\to (*)\to n=b\to (1):dung$
- $a\ne m\to (*)\to x{}_{0}=\frac{n-b}{a-m},$ thay vào phương trình ban đầu ta được: ${{(\frac{n-b}{a-m})}^{2}}+a(\frac{n-b}{a-m})+b=0$
$\begin{align} & \leftrightarrow {{(n-b)}^{2}}+a(n-b)(a-m)+b{{(a-m)}^{2}}=0 \\ & \leftrightarrow {{(n-b)}^{2}}+(a-m)(an-bm)=0\leftrightarrow {{(n-b)}^{2}}=(m-a)(an-bm) \\ \end{align}$
Bài tập 3.Tìm m để hai phương trình: ${{x}^{2}}-(2m-3)x+6=0;2x{}^{2}+x+m-5=0$ có duy nhất
nghiệm chung.
Lời giải
Giả sử là nghiệm chung của hai phương trình ta có hệ:
$\left\{ \begin{array}{l} x_0^2 – (2m – 3){x_0} + 6 = 0\\ 2x_0^2 + {x_0} + m – 5 = 0 \end{array} \right.$ $ \leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m = \frac{{x_0^2 + 3{x_0} + 6}}{{2{x_0}}}\\ m = – 2x_0^2 – {x_0} + 5 \end{array} \right.$ $ \to \frac{{x_0^2 + 3{x_0} + 6}}{{2{x_0}}} = – 2x_0^2 – {x_0} + 5$ $ \leftrightarrow 4x_0^3 + 3x_0^2 – 7{x_0} + 6 = 0$
$\leftrightarrow ({{x}_{0}}+2)(4x_{0}^{2}-5{{x}_{0}}+3)=0\leftrightarrow {{x}_{0}}=-2\to m=-1$
+) $m=-1$ hai phương trình ban đầu trở thành: ${{x}^{2}}+5x+6=0;2{{x}^{2}}+x-6=0$
Hai phương trình này có nghiệm chung x = -2. Vậy m = -1 là giá trị cần tìm.
Bài tập 4. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình ${{b}^{2}}{{x}^{2}}-\left( {{b}^{2}}+{{c}^{2}}-a{}^{2} \right)x+{{c}^{2}}=0$ luôn vô nghiệm.
Lời giải
Ta có: $\Delta =\left( b-c-a \right)\left( b-c+a \right)\left( b+c-a \right)\left( b+c+a \right)$
Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên:
$b-c-a<0;b+c-a>0;b-c+a>0;b+c+a>0\Rightarrow \Delta <0\Rightarrow $ phương trình luôn vô nghiệm.
Bài tập 5. Cho phương trình ${{x}^{2}}+\left( a+b+c \right)x+\left( ab+bc+ca \right)=0$ với a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình trên luôn vô nghiệm
Lời giải
Ta có: $\Delta ={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}-2ab-2bc-2ca$
Vì $a<b+c\Rightarrow {{a}^{2}}<ab+ca.$ Tương tự ta có: ${{b}^{2}}<ab+bc;{{c}^{2}}<ca+cb\Rightarrow \Delta <0\Rightarrow $ phương trình luôn vô nghiệm.
Bài tập 6. Cho hai phương trình ${{x}^{2}}+ax+b=0$ và ${{x}^{2}}+cx+d=0$. Chứng minh nếu hai phương trình trên có nghiệm chung thì: ${{\left( b-d \right)}^{2}}+\left( a-c \right)\left( ad-bc \right)=0$
Lời giải
Gọi ${{x}_{0}}$ là nghiệm chung của hai phương trình. Ta có: $\left( a-c \right){{x}_{0}}=d-b$
– Nếu $a\ne c\Rightarrow {{x}_{0}}=\frac{d-b}{a-c}.$ Thay ${{x}_{0}}$ vào phương trình ta được đpcm.
– Nếu $a=c\Rightarrow b=d\Rightarrow $ đpcm.
Bài tập 7. Cho hai phương trình ${{x}^{2}}+ax+b=0$ và ${{x}^{2}}+bx+a=0$ trong đó $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{2}.$ Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.
Lời giải
Ta có: ${{\Delta }_{1}}+{{\Delta }_{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}-4\left( a+b \right).$
Từ $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2}$ $ \Rightarrow a + b = \frac{1}{2}ab$ $ \Rightarrow {\Delta _1} + {\Delta _2} = {a^2} + {b^2} – 2ab = {\left( {a + b} \right)^2} \ge 0 \Rightarrow $ đpcm.
Bài tập 8. Cho hai phương trình ${{x}^{2}}+x-m=0$ và ${{x}^{2}}-mx+1=0$. Tìm các giá trị của tham số m để:
a) Hai phương trình có nghiệm chung
b) Hai phương trình tương đương
Lời giải
a) Gọi ${{x}_{0}}$ là nghiệm chung của hai phương trình. Ta biến đổi được $\left( 1+m \right){{x}_{0}}=m+1.$ Tìm được $m=-1$ hoặc $m=2$
b) Ta xét 2 trường hợp:
- Trường hợp 1: Hai phương trình cùng vô nghiệm $\Rightarrow -2<m<\frac{-1}{4}$
- Trường hợp2 : Hai phương trình cùng có nghiệm và tập nghiệm giống nhau $\Rightarrow m=-1$
Vậy $-2<m<\frac{-1}{4}$ thì hai phương trình tương đương.
Bài tập 9: Cho hai phương trình ${{x}^{2}}-2ax+3=0$ và ${{x}^{2}}-x+a=0$ (a là tham số). Với giá trị nào của tham số a thì:
a) Hai phương trình có nghiệm chung
b) Hai phương trình trên tương đương
Lời giải
a) Ta tìm được $a\in \varnothing $
b) Tìm được $\frac{1}{4}<a<\sqrt{3}$