Cách giải: Sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai để giải.
Bài 1: Xác định hệ số $a,b,c;$ Tính biệt thức $\Delta $ (hoặc $\Delta ‘$ nếu $b=2b’$) rồi tìm nghiệm của các phương trình sau
a) $2{{x}^{2}}-3x-5=0$ b) ${{x}^{2}}-6x+8=0$
c) $9{{x}^{2}}-12x+4=0$ d) $-3{{x}^{2}}+4x-4=0$
Lời giải
a) Ta có: $a=2;b=-3;c=-5$ và $\Delta =49>0\Rightarrow $ phương trình có hai nghiệm phân biệt: ${{x}_{1,2}}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}\Rightarrow x\in \left\{ -1;\frac{5}{2} \right\}$
b) Ta có: $a=1;b=-6;b’=-3;c=8;\Delta ‘=1>0\Rightarrow x\in \left\{ 2;4 \right\}$
c) Ta có: $a=9;b=-12;c=4;\Delta =0\Rightarrow $ phương trình có nghiệm kép: ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=\frac{2}{3}$
d) Ta có: $a=-3;b=4;c=-4;\Delta =-32<0\Rightarrow $ phương trình vô nghiệm.
Bài 2: Xác định hệ số $a,b,c;$ Tính biệt thức $\Delta $ (hoặc $\Delta ‘$ nếu $b=2b’$) rồi tìm nghiệm của các phương trình sau
a) ${{x}^{2}}-x-11=0$
b) ${{x}^{2}}-4x+4=0$
c) $-5{{x}^{2}}-4x+1=0$
d) $-2{{x}^{2}}+x-3=0$
Lời giải
a) Ta có: $a=1;b=-1;c=-11;\Delta =45>0\Rightarrow x\in \left\{ \frac{1\pm 3\sqrt{5}}{2} \right\}$
b) Ta có: $a=1;b=-4;c=4;\Delta =0\Rightarrow x=2$
c) Ta có: $a=-5;b=-4;c=1;\Delta =36>0\Rightarrow x\in \left\{ -1;\frac{1}{5} \right\}$
d) Ta có: $a=-2;b=1;c=-3;\Delta =-23<0\Rightarrow $ phương trình vô nghiệm.
Bài 3: Giải các phương trình sau
a) ${{x}^{2}}+\sqrt{5}x-1=0$
b) $2{{x}^{2}}-2\sqrt{2}x+1=0$
c) $\sqrt{3}{{x}^{2}}-\left( 1-\sqrt{3} \right)x-1=0$
d) $-3{{x}^{2}}+4\sqrt{6}x+4=0$
Lời giải
a) Ta có: $a=1;b=\sqrt{5};c=-1;\Delta =9>0\Rightarrow \sqrt{\Delta }=3\Rightarrow x\in \left\{ \frac{-5\pm \sqrt{3}}{2} \right\}$
b) Ta có: $a=2;b=-2\sqrt{2};c=1;\Delta =0\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2}}{2}$
c) Ta có: $a=\sqrt{3};b=-\left( 1-\sqrt{3} \right);c=-1;\Delta =4+6\sqrt{3}>0\Rightarrow x\in \left\{ -1;\frac{\sqrt{3}}{3} \right\}$
d) Ta có: $a=-3;b=4\sqrt{6};c=4;\Delta =144>0\Rightarrow x\in \left\{ \frac{6+2\sqrt{6}}{3};\frac{-6+2\sqrt{6}}{3} \right\}$
Bài 4: Giải các phương trình sau
a) $2{{x}^{2}}+2\sqrt{11}x-7=0$
b) $152{{x}^{2}}-5x+1=0$
c) ${{x}^{2}}-\left( 2+\sqrt{3} \right)x+2\sqrt{3}=0$
d) $3{{x}^{2}}-2\sqrt{3}x+1=0$
Lời giải
a) Ta có: $a=2;b=2\sqrt{11};c=-7;\Delta =100>0\Rightarrow x\in \left\{ \frac{-\sqrt{11}\pm 5}{2} \right\}$
b) Ta có: $a=152;b=-5;c=1;\Delta =-583<0\Rightarrow x\in \varnothing $
c) Ta tính được: $x\in \left\{ 2;\sqrt{3} \right\}$
d) Ta tính được: $x=\frac{\sqrt{3}}{3}$
Bài 5: Giải các phương trình sau
a) ${{x}^{2}}+2\sqrt{5}x+4=0$
b) $\sqrt{2}{{x}^{2}}-3x+5=0$
Lời giải
a) Ta có $\Delta ‘={{\left( \sqrt{5} \right)}^{2}}-4=1\Rightarrow \sqrt{\Delta ‘}=1$
Vậy phương trình có hai nghiệm ${{x}_{1}}=\frac{-\sqrt{5}-1}{2}$ và ${{x}_{2}}=\frac{-\sqrt{5}+1}{2}$
b) Ta có $\Delta ={{3}^{2}}-4.5.\sqrt{2}=9-20\sqrt{2}<0$
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
Bài 6: Cho phương trình $3{{x}^{2}}-\left( 5-m \right)x+2-m=0$ với $m\in \mathbb{R}$ là tham số
a) Xác định các hệ số $a,b,c$ của phương trình
b) Giải phương trình trong các trường hợp $m=2;m=5;m=1$
Lời giải
a) Ta có $a=3,\,b=-\left( 5-m \right),\,c=2-m$
b) Với $m=5$ ta có phương trình $3{{x}^{2}}-3=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=1\Leftrightarrow x=\pm 1$
Với $m=2$ ta có phương trình $3{x^2} – 3x = 0$ $ \Leftrightarrow 3x\left( {x – 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0\\ x = 1 \end{array} \right.$
Với $m=1$ ta có phương trình $3{x^2} – 4x = 1 = 0$ $ \Leftrightarrow 3{x^2} – 3x – x + 1 = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {3x – 1} \right)\left( {x – 1} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{1}{3}\\ x = 1 \end{array} \right.$
*) Nhận xét: Trong cả 3 trường hợp phương trình đều có nghiệm $x=1$
Ta có thể biến đổi phương trình ban đầu tương đương với $\left( x-1 \right)\left( 3x-2+m \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=\frac{2-m}{3} \\ \end{align} \right.$.