1. Phương pháp giải
Cách giải: Ta có thể sử dụng một trong các cách sau
- Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng tích
- Cách 2: Đưa phương trình đã cho về phương trình mà vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số.
2. Bài tập vận dụng
Bài 1: Giải các phương trình sau
a) $5{{x}^{2}}-7x=0$
b) $-3{{x}^{2}}+9=0$
c) ${{x}^{2}}-6x+5=0$
d) $3{{x}^{2}}+12x+1=0$
Lời giải
a) Ta có: $5{{x}^{2}}-7x=0\Leftrightarrow x\left( 5x-7 \right)=0\Leftrightarrow x\in \left\{ 0;\frac{7}{5} \right\}$
b) Ta có: $-3{{x}^{2}}+9=0\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-9=0\Leftrightarrow 3\left( {{x}^{2}}-3 \right)=0\Leftrightarrow x\in \left\{ \pm \sqrt{3} \right\}$
c) Ta có: ${{x}^{2}}-6x+5=0\Leftrightarrow \left( x-1 \right)\left( x-5 \right)=0\Leftrightarrow x\in \left\{ 1;5 \right\}$
d) Ta có: $3{{x}^{2}}+12x+1=0\Leftrightarrow 3{{\left( x+2 \right)}^{2}}=11\Leftrightarrow x=\frac{-6\pm \sqrt{33}}{3}$
Bài 2: Giải các phương trình sau
a) $-\sqrt{3}{{x}^{2}}-7x=0$
b) $\frac{-3}{5}{{x}^{2}}-\frac{7}{2}=0$
c) ${{x}^{2}}-x-9=0$
d) $3{{x}^{2}}+6x+5=0$
Lời giải
a) Ta có: $-\sqrt{3}{{x}^{2}}-7x=0\Leftrightarrow -x\left( \sqrt{3}x+7 \right)=0\Leftrightarrow x\in \left\{ 0;2\sqrt{3} \right\}$
b) Ta có: $\frac{-3}{5}{{x}^{2}}-\frac{7}{2}=0\Leftrightarrow -6{{x}^{2}}-35=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{-35}{6}\Leftrightarrow x\in \varnothing $
c) Ta có: ${{x}^{2}}-x-9=0\Leftrightarrow x\in \left\{ \frac{1\pm \sqrt{37}}{2} \right\}$
d) Ta có: $3{{x}^{2}}+6x+5=0\Leftrightarrow 3\left( {{x}^{2}}+2x+\frac{5}{3} \right)=0\Leftrightarrow 3{{\left( x+1 \right)}^{2}}+2=0$ (vô lý).
Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 3: Giải các phương trình sau
a) ${{x}^{2}}+2\sqrt{2}x=0$
b) $\left( {{m}^{2}}+2 \right){{x}^{2}}-5=0$ với $m\in \mathbb{R}$
c) ${{\left( 2x-\frac{1}{2} \right)}^{2}}-0,25=0$ d
) ${{x}^{2}}-3x+2=0$
Lời giải
a) Ta có ${{x}^{2}}+2\sqrt{2}x=0\Leftrightarrow x\left( x+2\sqrt{2} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=2\sqrt{2} \\ \end{align} \right.$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{ 0;2\sqrt{2} \right\}$
b) Ta có $\left( {{m}^{2}}+2 \right){{x}^{2}}-5=0\Leftrightarrow {{x}^{2}}=\frac{5}{{{m}^{2}}+2}\Leftrightarrow x=\pm \sqrt{\frac{5}{{{m}^{2}}+2}}$ (vì ${{m}^{2}}+2>0$)
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{ \sqrt{\frac{5}{{{m}^{2}}+2}};-\sqrt{\frac{5}{{{m}^{2}}+2}} \right\}$
c) Ta có
${\left( {2x – \frac{1}{2}} \right)^2} – 0,25 = 0$ $ \Leftrightarrow {\left( {2x – \frac{1}{2}} \right)^2} = 0,25$ $ \Leftrightarrow \left| {2x – \frac{1}{2}} \right| = \frac{1}{2}$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2x – \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\\ 2x – \frac{1}{2} = – \frac{1}{2} \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \frac{1}{2}\\ x = 0 \end{array} \right.$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{ \frac{1}{2};0 \right\}$
d) Ta có ${x^2} – 3x + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow {x^2} – x – 2x + 2 = 0$ $ \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left( {x – 2} \right) = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ x = 2 \end{array} \right.$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $S=\left\{ 1;2 \right\}$.
Bài 4: Với giá trị nào của tham số m thì phương trình $4{{x}^{2}}+{{m}^{2}}x+4m=0$ có nghiệm $x=1$
Lời giải
Thay $x=1$ vào phương trình ta có: ${{4.1}^{2}}+{{m}^{2}}.1+4m=0\Leftrightarrow m=-2$.
Vậy $m=-2$
Bài 5: Cho phương trình $4m{{x}^{2}}-x-10{{m}^{2}}=0.$ Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm $x=2$
Lời giải
Thay $x=2$ vào phương trình ta được:
$\begin{array}{l} 4m{.2^2} – 2 – 10{m^2} = 0\\ \Leftrightarrow – 10{m^2} + 16m – 2 = 0\\ \Leftrightarrow m = \frac{{4 \pm \sqrt {11} }}{5}. \end{array}$
Bài 6: Cho phương trình ${{x}^{2}}-(2m+1)x+{{m}^{2}}-2m+3=0\,\,\,\,(1)$. Giải phương trình (1) biết phương trình (1) có một nghiệm $x=2$
Lời giải
Vì phương trình có nghiệm x = 2 nên ta có:${{2}^{2}}-(2m+1).2+{{m}^{2}}-2m+3=0$
$\Leftrightarrow 4-4m-2+{{m}^{2}}-2m+3=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-6m+5=0\Leftrightarrow m\in \left\{ m=1;m=5 \right\}$
- $m=1\Rightarrow {{x}^{2}}-3x+2=0\Leftrightarrow x\in \left\{ 1;2 \right\}$
- $m=5\Rightarrow {{x}^{2}}-11x+18=0\Leftrightarrow x\in \left\{ 9;2 \right\}$