1. Cách xác định số nghiệm của phương trình dạng bậc hai
Cách giải: Xét phương trình bậc hai: $a{{x}^{2}}+bx+c=0$
1. Phương trình có nghiệm kép
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a\ne 0 \\ & \Delta =0 \\ \end{align} \right.$
2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & a\ne 0 \\ & \Delta >0 \\ \end{align} \right.$
3. Phương trình có đúng một nghiệm
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a = 0;\,\,b \ne 0\\ \left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ \Delta = 0 \end{array} \right. \end{array} \right.$
4. Phương trình vô nghiệm
$\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=0;b=0;c\ne 0 \\ & a\ne 0;\Delta <0 \\ \end{align} \right.$
Chú ý: Nếu $b=2b’$ ta có thể thay thế điều kiện của $\Delta $ tương ứng bằng $\Delta ‘$
2. Bài tập vận dụng
Bài tập 1: Cho phương trình $4{{x}^{2}}+4mx+m+6=0(1)$. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép
Lời giải
Ta có: $\Delta ‘=4{{m}^{2}}-4m-24$
Phương trình (1) có nghiệm kép $ \Leftrightarrow \Delta ‘ = 0$ $ \Leftrightarrow 4{m^2} – 4m – 24 = 0$ $ \Leftrightarrow {m^2} – m – 6 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m = – 2\\ m = 3 \end{array} \right.$
Vậy $m\in \left\{ -2;3 \right\}$.
Bài tập 2: Cho phương trình $m{{x}^{2}}+\left( 2m-5 \right)x+m-2=0\,\,\,\,\left( 1 \right)$ với $m\in \mathbb{R}$ là tham số. Khi nào
a) Phương trình (1) có nghiệm
b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
Lời giải
Xét 2 tường hợp
TH1: Với $m=0$ phương trình trở thành $-5x-2=0\Leftrightarrow x=-\frac{2}{5}$
TH2: Với $m\ne 0$ phương trình $m{{x}^{2}}+\left( 2m-5 \right)x+m-2=0$ là một phương trình bậc hai và có $\Delta ={{\left( 2m-5 \right)}^{2}}-4m\left( m-2 \right)=-12m+25$
+ Nếu $\Delta =-12m+25>0\Leftrightarrow m<\frac{25}{12}$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt
+ Nếu $\Delta =-12m+25=0\Leftrightarrow m=\frac{25}{12}$ thì phương trình có nghiệm kép ${{x}_{1}}={{x}_{2}}$
Vậy:
a) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi $m\le \frac{25}{12}$
b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $m\ne 0$ và $m<\frac{25}{12}$
Bài tập 3. Cho phương trình $\left( 2m-3 \right){{x}^{2}}-2\left( m-2 \right)x-1=0$ với $m$ là tham số. Khi nào
a) Giải phương trình với $m=2$
b) Chứng minh rằng với mọi $m\in \mathbb{R}$, phương trình luôn có nghiệm. Với giá trị nào của $m$ thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.
Lời giải
a) Với $m=2$, phương trình đã cho trở thành ${{x}^{2}}-1=0\Leftrightarrow x=\pm 1$
b) Xét hai trường hợp
TH1: Với $m=\frac{3}{2}$ phương trình đã cho trở thành $x-1=0\Leftrightarrow x=1$
TH2: Với $m\ne \frac{3}{2}$ phương trình $\left( 2m-3 \right){{x}^{2}}-2\left( m-2 \right)x-1=0$ là một phương trình bậc hai và có $\Delta ‘={{\left( m-2 \right)}^{2}}+\left( 2m-3 \right)={{\left( m-1 \right)}^{2}}\ge 0,\,\forall m\in \mathbb{R}$
Suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi $m\in \mathbb{R}$
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $\left\{ \begin{array}{l} m \ne \frac{3}{2}\\ \Delta = {\left( {m – 1} \right)^2} > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne \frac{3}{2}\\ m \ne 1 \end{array} \right..$
Cách khác:
$\begin{array}{l} \left( {2m – 3} \right){x^2} – 2\left( {m – 2} \right)x – 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2m – 3} \right){x^2} – \left( {2m – 3} \right)x + x – 1 = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x – 1} \right)\left[ {\left( {2m – 3} \right)x + 1} \right] = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ \left( {2m – 3} \right)x + 1 \end{array} \right.. \end{array}$
Suy ra phương trình luôn có nghiệm $x=1$ với mọi $m\in \mathbb{R}$.
Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình $\left( 2m-3 \right)x+1=0$ có nghiệm khác 1
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2m – 3 \ne 0\\ x = – \frac{1}{{2m – 3}} \ne 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne \frac{3}{2}\\ m \ne 1 \end{array} \right..\]
Bài tập 4. Cho phương trình $m{{x}^{2}}-2\left( m-1 \right)x+m-3=0$ (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình
a) Có hai nghiệm phân biệt
b) Có nghiệm kép
c) Vô nghiệm
d) Có đúng một nghiệm
e) Có nghiệm
Lời giải
Ta có: $\Delta ={{\left( m-1 \right)}^{2}}-m\left( m-3 \right)=m+1$
a) Phương tình có hai nghiệm phân biệt
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ \Delta > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ m > – 1 \end{array} \right..$
b) Xét $m\ne 0.$
Phương trình có nghiệm kép khi $\left\{ \begin{align} & m\ne 0 \\ & \Delta ‘=0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow m=-1$ c) Ta tìm được $m<-1$
d) Ta tìm được $m=0;m=-1$
e) Ta tìm được $m\ge -1$
Bài tập 5. Cho phương trình $\left( m-2 \right){{x}^{2}}-2\left( m+1 \right)x+m=0$ (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình
a) Có hai nghiệm phân biệt
b) Có nghiệm kép
c) Vô nghiệm
d) Có đúng một nghiệm
e) Có nghiệm
Lời giải
Ta có: $\Delta ‘={{\left( m+1 \right)}^{2}}-m\left( m-2 \right)=4m+1$
a) Phương tình có hai nghiệm phân biệt
$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 2\\ \Delta ‘ > 0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m \ne 0\\ m > \frac{{ – 1}}{4} \end{array} \right..$
b) Tìm được $m=\frac{-1}{4}$
c) Ta tìm được $m<\frac{-1}{4}$
d) Ta tìm được $m=2;m=\frac{-1}{4}$
e) Ta tìm được $m\ge \frac{-1}{4}$
Bài tập 6. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau vô nghiệm ${{x}^{2}}+2x-2m+7=0$; ${{x}^{2}}+6x+{{m}^{2}}+6=0$
Lời giải
Đặt ${{x}^{2}}+2x-2m+7=0$ là phương trình (1)
${{x}^{2}}+6x+{{m}^{2}}+6=0$ là phương trình (2)
Ta có $\Delta _{1}^{,}=1+2m-7=2m-6$ và $\Delta _{2}^{,}={{3}^{2}}-\left( {{m}^{2}}+6 \right)=3-{{m}^{2}}$
Suy ra $\begin{align} & \Delta _{1}^{,}+\Delta _{2}^{,}=2m-6+3-{{m}^{2}} \\ & =-\left( {{m}^{2}}-2m+1 \right)-2=-{{\left( m-1 \right)}^{2}}-2<0 \\ \end{align}$ với mọi $m\in \mathbb{R}$
Vậy một trong hai $\Delta _{1}^{,}$ và $\Delta _{2}^{,}$ có ít nhất một số nhỏ hơn 0 (đpcm).
Bài tập 7. Với giá trị nào của $m$, hai phương trình sau có nghiệm chung
$\left( 1 \right)\,2{{x}^{2}}-\left( 3m+2 \right)x+12=0$ và $\left( 2 \right)\,\,4{{x}^{2}}-\left( 9m-2 \right)x+36=0$
Lời giải
Gọi ${{x}_{0}}$ là một nghiệm chung của hai phương trình, ta có
$\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 2x_0^2 – \left( {3m + 2} \right){x_0} + 12 = 0\\ {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 4x_0^2 – \left( {9m – 2} \right){x_0} + 36 = 0 \end{array} \right.\\ \Rightarrow {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 4x_0^2 – \left( {9m – 2} \right){x_0} + 36 – 2\left[ {2x_0^2 – \left( {3m + 2} \right){x_0} + 12} \right] = 0\\ \Rightarrow \left( { – 3m + 6} \right){x_0} + 12 = 0{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \left( * \right). \end{array}$
+ Nếu $-3m+6=0\Leftrightarrow m=2$ thì phương trình (*) vô nghiệm
+ Nếu $-3m+6\ne 0\Leftrightarrow m\ne 2$ thì phương trình (*) có 1 nghiệm ${{x}_{0}}=\frac{-12}{-3m+6}=\frac{4}{m-2}$
Thay vào phương trình (1) ta có
$\begin{align} & 2{{\left( \frac{4}{m-2} \right)}^{2}}-\frac{\left( 3m+2 \right)4}{m-2}+12=0 \\ & \Leftrightarrow 16-2\left( 3m+2 \right)\left( m-2 \right)+6{{\left( m-2 \right)}^{2}}=0 \\ & \Leftrightarrow 16-2\left( 3{{m}^{2}}-4m-4 \right)+6\left( {{m}^{2}}-4m+4 \right)=0 \\ & \Leftrightarrow -16m+48=0\Leftrightarrow m=3 \\ \end{align}$
Vậy với $m=3$ hai phương trình đã cho có một nghiệm chung ${{x}_{0}}=4$.
Bài tập 8. Cho phương trình ${{x}^{2}}+\left( m-5 \right)x-3\left( m-2 \right)=0$ với $m\in \mathbb{R}$ là tham số
a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm $x=3$ với mọi $m\in \mathbb{R}$
b) Tìm $m$ để phương trình có nghiệm kép
c) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ thỏa mãn ${{x}_{1}}=3{{x}_{2}}$
Lời giải
a) Ta có
$\begin{array}{l} {x^2} + \left( {m – 5} \right)x – 3\left( {m – 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} – 3x + \left( {m – 2} \right)x – 3\left( {m – 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow x\left( {x – 3} \right) + \left( {m – 2} \right)\left( {x – 3} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {x – 3} \right)\left( {x + m – 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 3\\ x = 2 – m \end{array} \right.. \end{array}$
Vậy phương trình trên luôn có nghiệm $x=3$ với mọi $m\in \mathbb{R}$
b) Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi hai nghiệm của phương trình trùng nhau
Theo câu a) suy ra $2-m=3\Rightarrow m=-1$
Ta cũng có thể xét $\Delta ={{\left( m-5 \right)}^{2}}+4.3\left( m-2 \right)={{m}^{2}}+2m+1={{\left( m+1 \right)}^{2}}$
Phương trình có nghiệm kép $\Leftrightarrow \Delta =0\Leftrightarrow {{\left( m+1 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow m=-1$
c) Xét 2 trường hợp
TH1: ${{x}_{1}}=3$ và ${{x}_{2}}=2-m$
Khi đó ${{x}_{1}}=3{{x}_{2}}\Rightarrow 3=3\left( 2-m \right)\Rightarrow 2-m=1\Leftrightarrow m=1$
TH2: ${{x}_{1}}=2-m$ và ${{x}_{2}}=3$
Khi đó ${{x}_{1}}=3{{x}_{2}}\Rightarrow 2-m=3m\Rightarrow 4m=2\Leftrightarrow m=\frac{1}{2}$.
Bài tập 9. Cho Parabol $\left( P \right):y=4{{x}^{2}}$ và đường thẳng $d:y=2mx-1$ với $m\in \mathbb{R}$ là tham số. Tìm $m$ để:
a) Đường thẳng $d$ cắt parabol $\left( P \right)$ tại hai điểm phân biệt
b) Đường thẳng $d$ là tiếp tuyến của parabol $\left( P \right)$
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và $d$ là $4{{x}^{2}}=2mx+1\Leftrightarrow 4{{x}^{2}}-2mx-1=0\,\,\,\left( 1 \right)$
a) Đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta ‘ > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} – 4 > 0\\ \Leftrightarrow {m^2} > 4 \Leftrightarrow \left| m \right| > 2\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 2\\ m < – 2 \end{array} \right.. \end{array}$
Vậy đường thẳng $d$ cắt $\left( P \right)$ tại 2 điểm phân biệt khi $m>2$ hoặc $m<-2$.
b) Đường thẳng $d$ là một tiếp tuyến của $\left( P \right)$ khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm kép
$\Leftrightarrow \Delta ={{m}^{2}}-4=0\Leftrightarrow m=\pm 2$
Khi đó ta có đường thẳng $y=4m-1$ và $y=-4m-1$ là các tiếp tuyến của Parabol $\left( P \right)$.